> Termodinamica > La Teoria della
Relatività di Claudio
Zellermayer
Le leggi della fisica ed i
sistemi di riferimento La teoria della relatività fa la
sua comparsa nel mondo nel 1905, anno in cui Albert Einstein
(1879-1955) che all’epoca era un’oscuro impiegato dell’ufficio
brevetti di Berna e che nel tempo libero si dedicava allo studio
della fisica, pubblica su Annalen der Physik un lavoro
intitolato "Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento"
che darà il via ad una delle due rivoluzioni del mondo della fisica
di questo secolo. Assieme alla meccanica quantistica, la teoria della
relatività smentirà clamorosamente grossi scienziati che ritenevano in
quegli anni che la fisica ormai avesse scoperto tutto salvo misure
più precise di qualche costante. Tuttavia il titolo dell’articolo di
Einstein in un qualche modo tradisce quelle che sono le idee
preconcette che si hanno sulla relatività. Che cosa ha a che fare
l’elettromagnetismo con lo spazio-tempo di Einstein? Il percorso che si
dovrà fare per rispondere a questa domanda sarà lungo, faticoso ed
abbraccerà vari rami della fisica. Il nostro percorso inizia agli albori
della fisica, con Aristotele (384-322 a.C.). Aristotele fu il primo ad
occuparsi di fisica, cioè dello studio della natura. La sua fisica
prendeva spunto dall’astronomia nella descrizione dell’Universo.
L’Universo aristotelico era un universo sferico [figura dell’universo
aristotelico] nel cui centro era posta la Terra. Questo universo doveva
essere completamente occupato dalla materia distinta nei quattro
elementi costitutivi di essa: Aria, Acqua, Fuoco, Terra. Il primo elemento
era la terra, seguita dalla sfera dell’acqua e successivamente
dall’aria e dal fuoco. La disposizione delle sfere dei quattro elementi
costitutivi della materia era tale da giustificare i fenomeni
naturali: i corpi materiali cadono verso la terra perché tendono a raggiungere
il loro elemento costitutivo. Noi oggi diciamo che è la forza di gravità a
provocare tale caduta. Aristotele diceva che questa caduta verso la
terra era il "moto naturale" della materia verso la sfera
dell’elemento costitutivo. La fiamma sale verso l’alto per
raggiungere la sfera del fuoco e così via per gli altri elementi. Queste
quattro sfere degli elementi costitutivi della materia erano poi circondate
da una sfera di un quinto elemento o "quinta essenza"
chiamato etere. L’etere costituiva una sfera cristallina,
impalpabile ed incorruttibile che riempiva tutto l’universo. Nell’universo
aristotelico non c’era posto per il vuoto: la natura aborrisce il
vuoto, l’horror vacui. Le sfere che portavano il moto dei pianeti,
del Sole, della Luna e delle Stelle Fisse, ovviamente si trovavano immerse
in questo etere. La fisica aristotelica spiegava il comportamento
della natura in questo modo, un modo ben diverso da come ora si
studia la fisica, ma da qualche parte bisognava pur cominciare.
Inoltre la fisica era strettamente legata alla filosofia per cui era
importante l’autoconsistenza delle spiegazioni, non tanto che poi le cose
andassero nel modo dettato dalla filosofia. L’imperfezione degli
esseri umani non consentiva certo di vedere il tutto, ma solo delle parti.
In questo modo di fare fisica non c’era ovviamente spazio per le
formule, per le leggi matematiche. Solo la geometria vi trovava posto
perché era necessaria per descrivere il modello di universo voluto. La fisica
aristotelica che in un qualche modo riusciva a spiegare tutto non
aveva prodotto neanche una formula e meno che mai fatto misure atte a
verificare queste "leggi". Tuttavia pochissimi mettevano in
discussione Aristotele, nel campo della fisica, almeno fino al
Rinascimento. Qui cominciano le novità prima fra tutte la Rivoluzione
Copernicana. Copernico (1473-1543) nel suo libro De Revolutionibus
orbium coelestium (la rivoluzione, intesa come moto, delle sfere
celesti) sposta il centro della rotazione dalla Terra al Sole,
semplificando in questo modo il modello tolemaico, derivato dalla fisica
aristotelica, obsoleto ed inutile a cause delle imprecisioni che nuovi
strumenti di misura mostravano esservi in tale modello [modello tolemaico e
copernicano]. Solo molto dopo la morte di Copernico il mondo comincia
a prendere atto della novità di questo spostamento di vedute. Con Galileo
Galilei (1564-1642) e l’invenzione del cannocchiale comincia a
prendere corpo la fisica così come noi la conosciamo. Il cannocchiale mostra
la novità di un universo molto più grande di quello supposto fino ad
allora. Galileo distingue nella Via Lattea le stelle, scopre i satelliti di
Giove e tutto ciò amplia le vedute in campo astronomico. In campo fisico
Galileo è il primo a fare esperimenti e misure anche se nei suoi testi le
leggi da lui scoperte sono descritte a parole e non con la
matematica. Tuttavia lui è il primo ad intuire l’importanza della
misura se non altro per capire se la fisica aristotelica, che ancora
reggeva, avesse una sua giustificazione sperimentale oltre che filosofica.
Galileo scopre che le cose non stanno così, scopre la legge della caduta
dei gravi, l’isocronismo del pendolo, le traiettorie paraboliche dei
proiettili ed altre considerazioni, ma importante per quello che riguarda
la relatività, scopre che quando si descrive un fenomeno fisico se il
nostro "laboratorio" è in quiete o in moto uniforme con velocità
costante il fenomeno descritto è lo stesso in entrambe le situazioni. Il
moto uniforme non cambia la descrizione del fenomeno. Tutto ciò è trattato
in un celebre passo del Dialogo sopra i due massimi sistemi,
che va sotto il nome de "l’esempio della nave": Rinserratevi con qualche amico
nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio e quivi
fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco
un gran vaso d’acqua e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto
qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua
in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la
nave, osservate diligentemente come quegli animaletti volanti con
pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno
andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno
tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non
più gagliardamente la dovrete gettare verso a quella parte che verso che
questa, quando le lontananze sieno eguali, e saltando voi, come si
dice, a piè giunti, eguali spazi passerete verso tutte le parti.
Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun
dubbio ci sia che mentre il vassello stia fermo non debbano succeder
così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che
il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non
riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da
alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta
ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che
prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti
verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria,
il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e
gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà
tirarla, per arrivarlo se egli sarà verso la prua e voi verso la
poppa, che se voi fuste situati per l’opposito; le gocciole cadranno come
prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché mentre
la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella loro
acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la
sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo
posto su qualsivoglia luogo dell’orlo del vaso; e finalmente le farfalle e
le mosche continueranno i loro voli indifferentemente verso tutte le parti,
né mai accadrà che si riduchino verso la parte che riguarda la poppa, quasi
che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla
quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate; e se
abbruciando alcuna lagrima d’incenso si farà un poco di fumo, vedrassi
ascender in alto ed a guisa di nuvoletta trattenervisi, e indifferentemente
muoversi non più verso questa che quella parte. E di tutta questa
corrispondenza di effetti ne è cagione l’esser il moto della nave comune e
tutte le cose contenute in casa ed all’aria ancora, che per ciò dissi io
che si stesse sotto coverta; ché quando si stesse di sopra e nell’aria
aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men
notabili si vedrebbero in alcuni degli effetti nominati: e non è dubbio che
il fumo resterebbe in dietro, quanto l’aria stessa; le mosche
parimenti e le farfalle, impedite dall’aria, non potrebber seguir il
moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si separassero;
ma trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbrica
anfrattuosa, porta seco parte dell’aria sua prossima, senza intoppo o
fatica seguirebben la nave, e per simil cagione veggiamo tal volta, nel
correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli volandogli
ora in questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle gocciole
cadenti pochissima sarebbe la differenza e ne i salti e ne i proietti
gravi, del tutto impercettibile. Tutto ciò si può anche tradurre
in un altro modo dicendo che gli intervalli di spazio e di tempo sono
assoluti ed indipendenti dal moto dell’osservatore. Il primo trattato vero e proprio
di fisica è opera di Isaac Newton (1642-1727) ed è il Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica (I principi matematici della
filosofia naturale) pubblicato nel 1687. In questo libro sono enunciate una
serie di affermazioni e di leggi tutte molto rigorose e necessarie per la
costruzione della meccanica. E qui Newton si trova davanti alcuni problemi,
primo fra tutti il definire lo spazio e il tempo dal punto di vista
fisico. Questo problema nasce dal fatto, forse per noi ovvio, che quando si
deve fare una descrizione fisica di un evento, di un fenomeno, è fondamentale
avere un sistema di riferimento. Newton ad esempio, nell’ambito della
teoria della gravitazione doveva descrivere i moti dei corpi. Rispetto a
cosa li descriveva? Era necessario un riferimento o un sistema di
riferimento dove il fenomeno descritto sia collocato nello spazio e
nel tempo. Un sistema di riferimento non è altro che un sistema nel
quale la posizione di un evento è specificata da tre numeri, le coordinate
spaziali e dal tempo, cioè l’istante in cui il fenomeno avviene. Galileo
con l’esempio della nave aveva intuito che solo una certa categoria di
sistemi di riferimento sono adatti a descrivere le leggi della
fisica, i sistemi di riferimento inerziali cioè sistemi non
accelerati. Un sistema di riferimento inerziale può essere in quiete o in
moto rettilineo uniforme con velocità costante. I sistemi di
riferimento accelerati hanno lo svantaggio di creare situazioni
legate proprio alla descrizione del fenomeno. Un esempio può forse
chiarire le cose. Quando ci si trova dentro un’auto che percorre un tratto
rettilineo di strada con velocità costante, l’unica forza che noi
sentiamo è quella di gravità che ci fa stare seduti. Tale forza viene
bilanciata dal sedile su cui siamo.
Nessun’altra forza è presente
e la gravità è una forza reale, cioè legata ad un fenomeno fisico. Ad
un certo punto l’auto imbocca un tratto di strada in curva e noi sentiamo
immediatamente una spinta verso l’esterno della curva. Dal punto di
vista fisico, imboccare la curva significa cambiare sistema di riferimento.
Da quello inerziale (il tratto rettilineo) siamo passati ad un
sistema di riferimento accelerato (il tratto curvilineo). La forza
centrifuga che ci spinge verso l’esterno della curva è una forza
"fittizia" (così chiamata proprio da Newton), cioè una forza che
non è legata ad alcunque di fisico ma solo alla diversa descrizione
dell’evento. Newton comprese, così come Galileo aveva intuito, che le
leggi della fisica devono essere descritte rispetto ad un sistema di
riferimento inerziale perché questa categoria di sistemi di
riferimento lascia inalterata la forma della legge. I sistemi accelerati
invece aggiungono degli effetti che complicano la descrizione voluta.
Le leggi della meccanica newtoniana sono invarianti per qualsiasi sistema
di riferimento inerziale. Newton però andò oltre. Lui si pose il
problema del sistema assoluto. Se i sistemi inerziali sono in quiete tra
loro o in moto relativo, allora è impossibile trovare un esperimento che
permetta di rivelare quale sistema è in moto e quale in quiete. Solo
può essere rivelato il moto relativo. Newton suppose che tra tutti i
sistemi inerziali ce ne dovesse essere uno in quiete assoluta
rispetto a cui tutti gli altri erano in moto. Tale sistema fu chiamato lo
"spazio assoluto" e rispetto a questo l’etere aristotelico
doveva essere in quiete. Qualche volta questo spazio assoluto è
associato alle stelle fisse. Newton definì lo spazio assoluto ed il
tempo assoluto nei Principia in questo modo: Lo spazio assoluto per sua
propria essenza, senza relazione alcuna rimane sempre immobile. Il
tempo assoluto, vero e matematico, fluisce uniformemente in sé e per sua
natura, senza relazione con alcunché di esterno.... Newton che era un precursore dei
suoi tempi probabilmente si rendeva conto dei problemi legati a
queste definizioni che lui stesso aveva dato, però nel suo tempo il
problema vero era la correttezza degli enunciati delle sue leggi e le
relative dimostrazioni. Leibnitz, matematico tedesco contemporaneo di
Newton a tal proposito scrisse che "spazio e tempo sono
ordinamenti delle cose, non sono cose". In seguito Einstein
avrebbe affermato qualcosa di analogo con la frase "tempo e
spazio sono modi coi quali pensiamo, non condizioni nelle quali
viviamo". La ricerca del sistema di riferimento assoluto
sarà in seguito fondamentale per la fisica. Per proseguire con
l’avvicinamento alla teoria della relatività di Einstein è necessario
prendere in considerazione un altro campo della fisica,
l’elettromagnetismo, che verso la fine dell’800 trova una sua completa
definizione teorico-matematica grazie al lavoro di Maxwell, fisico
teorico scozzese che con le sue "equazioni" unifica i fenomeni
elettrici, magnetici ed ottici. Apparentemente l’elettromagnetismo e
la meccanica possono non avere punti in comune con la relatività, ma
avendo dimostrato Maxwell che la luce è un’onda elettromagnetica ecco
sorgere nuovi problemi legati ai sistemi di riferimento di cui finora
si è parlato. Diventa quindi importante dare un’occhiata alle
equazioni di Maxwell ed alle loro conseguenze. Equazioni di Maxwell James Clerk Maxwell (1831-1879) è
stato il maggiore fisico teorico dell’800. Nacque nell’anno in cui Faraday
scoprì l’induzione elettromagnetica e morì nell’anno in cui nacque
Einstein. Maxwell è stato l’anello teorico tra questi due fisici
perché elaborò in forma di equazioni matematiche il lavoro sperimentale di
Faraday, includendo il concetto di campo di forze, e da queste
equazioni Einstein costruì la teoria della relatività. I contributi
più importanti di Maxwell alla fisica teorica, oltre alle sue quattro
equazioni, sono la trattazione sulla teoria cinetica e la teoria statistica
dei gas, i lavori sulla termodinamica e l’astrofisica. Morì a 48 anni per
un tumore. Le quattro equazioni che
racchiudono tutta la teoria elettromagnetica non sono esclusivamente di sua
invenzione. Maxwell si prodigò per tradurre in modo matematico e compatto
le conoscenze esistenti fino all’epoca dei fenomeni elettrici e
magnetici. 1° equazione - Legge di Gauss per il
campo elettrico o Legge di Coulomb. Questa equazione dice che il
flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale
alla somma di tutte le cariche contenute all’interno di quella
superficie. 2°equazione - Legge di Gauss per
il campo magnetico o non esistenza di monopoli magnetici Questa equazione, analoga in
forma alla 1° dice che in natura non esistono cariche magnetiche singole o
isolate a differenza delle cariche elettriche che possono essere isolate,
sia positive che negative. 3°equazione - Legge di Faraday
dell’induzione Il termine 4°equazione - Legge di Ampére-Maxwell Maxwell giunse a questa
equazione partendo dall’idea che se un campo magnetico variabile produce un
campo elettrico (legge di Faraday, 3°equazione) allora un campo elettrico
variabile doveva produrre un campo magnetico. All’epoca di Maxwell
non c’erano evidenze sperimentali tali da giustificare quest’idea. Maxwell
fu capace di mostrare che tale flusso elettrico variabile era
equivalente ad una corrente elettrica da lui chiamata corrente di
spostamento. Quindi secondo Maxwell un campo magnetico può essere
generato non solo da una corrente elettrica ordinaria come mostra la legge
di Ampére ma anche da un campo elettrico variabile e tutto ciò introduce
una simmetria tra campo elettrico e campo magnetico.
, 
è la costante dielettrica del
vuoto, 
è il vettore campo elettrico, A
la superficie chiusa e Q la carica. La scritta 
indica il flusso del campo
elettrico.
è chiamato circuitazione.
Questa equazione dice che la variazione del flusso di un campo
magnetico induce un campo elettrico in un conduttore. Si chiama legge di
Faraday perché fu trovata sperimentalmente da Michael Faraday che
però non la espresse in modo matematico.
è la permeabilità
magnetica del vuoto. In questa quarta equazione, il termine 
è chiamato da Maxwell
corrente di spostamento indicandolo con 
E’ bene soffermarsi ancora su
alcuni aspetti delle equazioni di Maxwell. Se ci si trova nello spazio,
quindi in assenza di cariche elettriche, le equazioni di Maxwell assumono
una forma simmetrica. Il secondo termine della 1°equazione diventa
zero, la 2° e 3° equazione rimangono invariate, mentre nella 4° equazione
si annulla il termine contenente la corrente i, diventando questa
equazione simmetrica alla 3° a meno della costante dielettrica Onde elettromagnetiche Campi elettrici variabili nel
tempo (4°equazione), muovendosi nello spazio generano dei campi magnetici
anch’essi variabili nel tempo perché si muovono anche loro nello
spazio. A loro volta questi campi magnetici a causa del moto
diventano variabili e producono campi elettrici, in un susseguirsi di campi
elettrici e magnetici variabili.[figura della propagazione dei campi
E e B] Nelle zone di spazio dove non ci sono cariche elettriche e dipoli
magnetici ci sono le onde elettromagnetiche. Questo susseguirsi di
campi elettrici e magnetici si muove nello spazio dato che ogni campo
generato si trova in una zona diversa da quella del campo che l’ha generato
e di conseguenza l’energia del campo elettromagnetico è trasportata nello
spazio da onde elettromagnetiche in regioni dove non esiste materia. Dalla forma delle equazioni di
Maxwell risulta che le onde elettromagnetiche hanno diverse proprietà: 1.
Le
onde elettromagnetiche nel vuoto sono tutte trasversali. Ciò
significa che il vettore campo elettrico e il vettore campo magnetico
sono perpendicolari tra loro e perpendicolari con la direzione di
propagazione delle onde stesse. [figura delle onde e.m.] 2.
La
velocità di propagazione nel vuoto vale: Inserendo i valori delle costanti la velocità
risulta essere circa 300.000 km/secondo che coincide proprio con la
velocità della luce. 3. I vari tipi di onde elettromagnetiche si
diversificano tra loro solo per la lunghezza d’onda/frequenza,
tramite la relazione: dove La causalità che la velocità delle onde
elettromagnetiche fosse simile a quella della luce indusse Maxwell a
pensare che la luce fosse anch’essa un’onda elettromagnetica di
lunghezza d’onda particolare. La teoria di Maxwell prevedeva anche
che la radiazione elettromagnetica dovesse esistere anche a frequenze
(o lunghezze d’onda) superiori o inferiori a quelle della luce.[figura
dello spettro delle onde e.m.] Misure della velocità della luce All’epoca in cui Maxwell elaborò la sua teoria
delle onde elettromagnetiche, la velocità della luce era nota con una
certa precisione grazie ai metodi di misura di Fizeau (1849) e di Foucault
(1850). Tuttavia il fatto che la luce dovesse avere una velocità
finita, per quanto alta fu già ipotizzato ancora una volta da
Galileo, che con uno dei suoi esperimenti tentò anche di definirne una sua
misura. L’esperimento era svolto da due persone poste ognuna di loro
su una collina e dotate ognuna di una lanterna ed un panno per coprirla.
Quando una delle due persone scopriva la propria lanterna, l’altra alla
vista della luce doveva scoprire l’altra lanterna ed in questo modo
misurare il tempo, essendo nota la distanza tra le due colline. Con questo
esperimento però venivano misurati i tempi di reazione delle due persone
invece del tempo impiegato dalla luce a percorrere due volte la
distanza tra le due colline! Nel 1675 l’astronomo danese Ole Roemer
casualmente verificò per primo la finitezza della velocità della luce e ne
fornì una sua misura. Roemer si stava dedicando all’osservazione dei
satelliti di Giove, i satelliti galileiani, per utilizzarli allo scopo di
determinare la longitudine in mare. A tal proposito studiava i tempi di
durata delle eclissi dei satelliti dietro al disco di Giove. Le ripetute
osservazioni mostravano un particolare apparentemente inspiegato: quando la
Terra, nel suo moto orbitale attorno al Sole, si avvicinava a Giove i tempi
di rivoluzione dei satelliti si accorciavano mentre invece quando la Terra
si allontanava da Giove i tempi di rivoluzione si allungavano fino ad
un ritardo massimo di circa 17 minuti. Roemer capì che questo ritardo
massimo era dovuto al fatto che la luce aveva una velocità finita per
cui doveva percorrere una distanza superiore di circa due volte la distanza
Terra-Sole, quando la Terra allontanandosi da Giove giungeva alla
massima distanza dal pianeta. All’epoca di Roemer la distanza
Terra-Sole era nota con buona approssimazione per cui fu facile per questo
astronomo calcolare la velocità della luce. Roemer ottenne un valore
di 220.000 km/secondo, valore molto basso rispetto a quello noto oggi, ma
di gran lunga elevatissimo per l’epoca.[metodo di Roemer] Come accennato prima, verso la metà del secolo
scorso vennero svolte varie misure della velocità della luce allo
scopo di ottenere un valore il più attendibile possibile. La prima
misura fu effettuata dal fisico francese Armand Fizeau (1819-1896). Il
dispositivo, come mostra la figura [figura del dispositivo di Fizeau]
consisteva in una ruota dentata, ruotante rapidamente, sulla cima di una
collina ed uno specchio sulla cima di un’altra collina posta a 5
miglia dalla prima. La luce proveniente da una sorgente, dopo essere
stata focalizzata tramite una lente, passava attraverso una stretta
fessura fra due denti adiacenti della ruota, viaggiava per dieci miglia
(andata e ritorno con riflessione sullo specchio). Se la ruota girava alla
giusta velocità, il raggio luminoso ritornava giusto in tempo per
passare attraverso un’altra fessura fra i denti del disco. Dalla
velocità di rotazione della ruota dentata era possibile calcolare il tempo
impiegato dalla luce a percorrere le dieci miglia. Questo metodo
consentì di ricavare un valore molto simile a quello attuale che è di
299.792,458 km/secondo. La velocità della luce si indica con la
lettera "c" che sta per "celeritas", velocità in
latino. Esperimento di Hertz La teoria delle onde elettromagnetiche di Maxwell
ebbe una prima conferma sperimentale nel 1887 quando all’Università di
Karlsruhe Heinrich Hertz (1857-1894) fisico tedesco allievo di Helmholtz
riuscì a generare delle onde elettromagnetiche a bassa frequenza ( L’etere e la velocità della luce Arriviamo dunque al punto cruciale, in cui vari
fenomeni trovano una serie di smentite che creano confusione nel mondo
della fisica di fine ‘800. All’inizio del ‘900 si pensava, ed in parte si
era dimostrato, che la luce fosse un’onda elettromagnetica che si propaga
in un mezzo chiamato etere, termine come si ricorda di natura
aristotelica. Se tutto ciò era vero, allora doveva essere possibile,
tramite esperimenti, potere misurare il cambiamento della velocità
della luce al passaggio ad un altro sistema di riferimento inerziale. Le
leggi della meccanica newtoniana, come si ricorderà sono invarianti per un
passaggio da un sistema inerziale ad un altro, le velocità non lo
sono. Immaginiamo di vedere un treno muoversi in una certa direzione e sul
treno una persona sta correndo nella direzione del moto del treno. Un
osservatore a terra misurando la velocità della persona dirà che essa
è data dalla somma della velocità del treno e la velocità della persona,
mentre un osservatore posto sul treno dirà che la velocità della
persona che corre è data solo da essa stessa, cioè non prenderà in
considerazione la velocità del treno. Questo esempio va sotto il nome di
"trasformazione galileiana" della velocità. Anche la luce
si dovrebbe comportare così ed in questo modo si dovrebbe misurare la
velocità di vari sistemi di riferimento rispetto all’etere. Il primo
problema sorge dal fatto che la velocità della luce, come si ricorderà, è
legata a due costanti fondamentali dell’elettromagnetismo:
. Quindi la 1° e 2° equazione
hanno la stessa forma, così come la 3° e 4°. Apparve ancora più evidente a
Maxwell l’aggiunta del termine della corrente di spostamento per
evidenziare tale simmetria.
è la lunghezza d’onda
mentre 
è la sua frequenza.
metro) corrispondenti alle onde
radio ed ottenne sperimentalmente per queste onde una velocità di 320.000
km/secondo.[figura dell’apparecchiatura di Hertz] Hertz mostrò che queste
onde potevano venire rifratte e riflesse allo stesso modo in cui lo
fa la luce. In pratica le onde radio e la luce avevano la stessa proprietà.
Questo esperimento mostrò che la teoria di Maxwell era valida e che tale
teoria aveva il pregio di unificare tre categorie di fenomeni,
all’epoca diversi, fra loro: i fenomeni elettrici, magnetici ed ottici.e 
. Se la velocità della
luce deve cambiare per una trasformazione galileiana allora anche le leggi
dell’elettromagnetismo devono cambiare. Queste leggi quindi, a differenza
di quelle della meccanica newtoniana, non sono invarianti per passaggi a
sistemi di riferimento inerziali diversi. Una serie di esperimenti e
dimostrazioni mostrano proprio questo. Le leggi dell’elettromagnetismo ci
dicono, per esempio, che una carica elettrica in quiete genera un
campo elettrico tutto intorno ad essa, mentre una carica elettrica in
moto oltre a generare un campo elettrico ne genera anche uno
magnetico. Di conseguenza un osservatore che si muove con la carica
elettrica misura solo un campo elettrico mentre un altro osservatore
rispetto a cui la carica è in moto rettilineo uniforme misura due
campi: uno elettrico ed uno magnetico. L’avere cambiato sistema di
riferimento, sempre inerziale comunque, ha aggiunto un fenomeno
fisico in più, la presenza di un campo magnetico. Einstein trovò
difficile accettare questa non invarianza delle leggi
dell’elettromagnetismo.
Il fantomatico "etere" in cui si
propagava la luce era una necessità fisica. Tutti i fenomeni ondulatori
noti in meccanica necessitavano di un mezzo attraverso cui propagarsi
quindi se anche la luce è un’onda anch’essa avrà bisogno di un mezzo
di propagazione, l’etere appunto. L’etere aveva comunque delle strane
particolarità. Doveva possedere una bassissima densità, altrimenti
avrebbe rallentato il moto dei pianeti (l’etere riempiva lo spazio
interstellare) e contemporaneamente doveva avere le caratteristiche di un
solido molto elastico per giustificare la propagazione di onde
trasversali ad altissima velocità. I fisici storcevano un po’ il naso di
fronte a simili caratteristiche però le accettavano perché l’etere forniva
loro il sistema di riferimento in quiete e presto si passò a chiamarlo
anche lo "spazio assoluto" di newtoniana memoria. Diventava
quindi sempre più importante rivelare l’etere misurando la velocità della
luce in differenti sistemi inerziali. Ed è qui che abbiamo
l’esperimento cruciale che darà in seguito una svolta al problema. Esperimento di Michelson-Morley Nel 1887 A.A. Michelson ed il suo collega E.W.
Morley con un esperimento diventato famoso e ripetuto per anni in
seguito, cercarono di misurare le variazioni di velocità della luce
in vari sistemi di riferimento. Essi usarono uno strumento chiamato
"interferometro", mostrato dalla figura [figura
dell’interferometro] che, senza entrare nei particolari dell’esperimento
stesso, doveva rivelare il fantomatico etere. La Terra si muove intorno al
Sole ad una velocità di 30 km/sec, quindi se l’etere è immobile,
allora si dovrebbe misurare tramite esperimenti ottici questo
"vento d’etere". Tramite l’interferometro si doveva verificare
uno spostamento delle frange di interferenza dovuto al fatto che
orientando lo strumento nella direzione del moto della Terra, la
velocità della luce si doveva sommare con quella della Terra, secondo le
trasformazioni galileiane. Questa somma di velocità si traduceva appunto in
uno spostamento delle frange di interferenza. L’esperimento venne compiuto
a Cleveland e per l’occasione venne fermato tutto il traffico veicolare nei
dintorni del laboratorio per evitare vibrazioni che ne inficiassero
il risultato. Nel corso dell’esperimento non si rilevò nessuna variazione
della figura di interferenza. L’esperimento venne ripetuto più volte
durante il giorno e la notte e più volte durante gli anni successivi anche
in altri laboratori. Il risultato era sempre lo stesso: nessuno
spostamento delle frange di interferenza. Che conclusioni si potevano trarre da questo
esperimento? L’etere o non esiste o è completamente trascinato dalla
Terra. Quest’ultima ipotesi è smentita da altre esperienze. Quindi
l’esperimento di Michelson-Morley che doveva essere una conferma
dell’esistenza dell’etere ne segnò la sua fine. Ma ciò che è molto più
importante e che occorre sottolineare è che la velocità della luce
non subisce variazioni: la velocità della luce non si somma con
nessun’altra velocità. Per essa non vale la trasformazione galileiana
delle velocità e non è influenzata dalla velocità della sorgente o
dell’osservatore. Alla fine del secolo scorso i fisici si trovarono
quindi davanti a questa situazione poco piacevole: 1.
Il
risultato dell’esperimento di Michelson-Morley decreta la fine dell’etere
e mette in evidenza che la velocità della luce è una velocità
"particolare" 2.
Le
leggi della meccanica sono invarianti per le trasformazioni galileiane 3.
Le
leggi dell’elettromagnetismo non sono invarianti per le stesse
trasformazioni Da qui si poteva dedurre che: a) o non esiste un principio di relatività valido
per tutta la fisica b) o non sono esatte le leggi
dell’elettromagnetismo c) o non sono esatte le leggi di Newton Fino al 1905, data della pubblicazione del famoso
articolo di Einstein, il mondo della fisica si arrampicò sugli specchi per
giustificare il punto a) o per modificare il punto b) La genialità di
Einstein fu quella di criticare invece il punto c) che nessuno si sognava
di mettere in discussione. Le leggi di Newton da quasi tre secoli
puntualmente venivano confermate per cui sarebbe stata assurda una loro
modifica. Einstein la operò ed in questo modo rivoluzionò il concetto
di spazio e di tempo. I postulati della relatività ristretta Nel 1905, come più volte detto, Einstein enuncia
nel suo lavoro i due postulati di relatività, all’apparenza semplici ma che
cambieranno la fisica. Questo lavoro del 1905 va sotto il nome di
"relatività ristretta" o "relatività speciale"
come viene chiamata nei paesi di lingua anglosassone, per
distinguerlo dal lavoro del 1916 denominato "teoria generale della
relatività" di concezione ancora più rivoluzionaria. 1.
La
velocità della luce nel vuoto è una costante c, indipendente dal
sistema inerziale nel quale essa è misurata, dal moto della sorgente di
luce o da quello dell’osservatore. 2.
Tutte
le leggi della fisica incluse quelle della meccanica e
dell’elettromagnetismo, hanno la stessa forma in tutti i sistemi di
riferimento inerziali (cioè esse sono invarianti). Perciò tutti i
sistemi inerziali sono equivalenti. Da questi due semplici postulati si possono fare
alcune considerazioni. Il postulato della costanza della velocità
della luce afferma che tale velocità è la stessa in ogni sistema di
riferimento inerziale e che essa non può essere sommata "secondo
Galileo" a qualsiasi altra velocità perché ciò che si ottiene è sempre
lo stesso valore. Tutto ciò può essere espresso in un altro modo: la
velocità della luce è la velocità limite in natura. Nessun corpo materiale
e nessun segnale elettromagnetico può superare tale velocità e solo le onde
elettromagnetiche possono raggiungerla mentre nessun corpo materiale
può essere accelerato fino a tale velocità. Il concetto appena
espresso senz’altro urta contro il nostro buon senso o meglio il senso
comune delle cose perché siamo abituati ad aspettarci che ciò che è limite
oggi non lo sia in futuro. Questo è l’errore che si commette quando
si confonde la fisica con la tecnologia. La tecnologia è figlia della
fisica e può realizzare solo ciò che la fisica mostra realizzabile.
Inoltre in natura ha molto più senso una velocità limite che una velocità
illimitata. A ben pensarci urta più il nostro senso comune il
pensiero che un segnale possa propagarsi istantaneamente da un capo all’altro
dell’Universo che non il contrario. Da quando il postulato della costanza della
velocità della luce fu enunciato sono state eseguite quantità innumerevoli
di esperimenti per verificare tale costanza e sempre il risultato è
stato il medesimo. Ma la costanza della velocità della luce porta con sé un
altro fatto sconvolgente, sempre per il nostro senso comune di intendere il
mondo che ci circonda. Secondo Galileo e Newton, il tempo scorre in
modo assoluto, quindi un intervallo di tempo misurato in un certo sistema
di riferimento inerziale sarà il medesimo se misurato in un altro sistema
inerziale in moto relativo rispetto al primo. Il postulato della
costanza della velocità della luce stravolge tutto ciò e mostra che gli
intervalli di tempo sono relativi ed anzi, per un osservatore in moto
uniforme con velocità prossima a quella della luce il tempo scorre
più lentamente rispetto ad un osservatore fermo! Tutto ciò può essere compreso meglio con una
figura. La figura seguente [figura della dilatazione del tempo]
mostra un orologio visto da due sistemi inerziali in moto relativo.
Nella parte alta della figura l’orologio è in quiete rispetto
all’osservatore. Tale orologio funziona a lampi di luce: un segnale
luminoso parte dal basso dell’orologio, si riflette in uno specchietto
e ritorna alla sorgente che l’ha emesso. Questo viaggio di andata e
ritorno segna un’unità di tempo di tale orologio. Passiamo poi ad un
altro sistema di riferimento che non è più in quiete con il nostro
orologio. Questa volta, dal punto di vista dell’osservatore,
l’orologio si muoverà da sinistra a destra con velocità costante di
conseguenza il lampo di luce parte, ma quando raggiunge lo specchio
riflettente questo si sarà spostato quindi il cammino percorso dalla
luce dalla sorgente allo specchietto sarà maggiore rispetto al caso
precedente in cui l’osservatore era in quiete con l’orologio. Poi
dopo la riflessione il raggio luminoso tornerà al punto di partenza, che a
sua volta si sarà spostato sempre nel verso di percorrenza dell’orologio.
Tutto ciò è mostrato nella parte bassa della figura. Conclusione: quando un
osservatore è in quiete con l’orologio, il cammino della luce ha una
certa lunghezza, quando l’osservatore non è in quiete con l’orologio
il cammino della luce ha una lunghezza maggiore. Dato che la velocità della
luce è la medesima nei due sistemi di riferimento allora nel secondo caso
dovrà percorrere uno spazio maggiore e di conseguenza impiegherà più tempo.
Gli intervalli di tempo, misurati nei due sistemi di riferimento, non sono
gli stessi. L’osservatore che vede l’orologio in moto relativo misura
un tempo, di quell’orologio, dilatato rispetto alla misura fatta
quando era in quiete con l’orologio stesso! Ci si può chiedere come sia
stato possibile non accorgersi di tale fenomeno fino all’epoca di Einstein.
La risposta è semplice: tale effetto dilatatorio del tempo diventa evidente
solo se le velocità in gioco sono dell’ordine della velocità della
luce. Alle velocità nostre abituali tale effetto è trascurabile e gli
orologi che usiamo sono inadeguati a misurare questo effetto. La dilatazione del tempo è solo una delle novità
che portò la teoria della relatività. Tuttavia quei due semplici postulati
hanno imposto una radicale revisione delle leggi della fisica senza
naturalmente cancellare la meccanica di Galileo e Newton. La teoria
della relatività comprende in se le leggi della meccanica, dell’ottica e
dell’elettromagnetismo, non le esclude. Alle basse velocità,
trascurabili rispetto a quella della luce, la meccanica newtoniana ha
ancora il suo valore, alle alte velocità la meccanica newtoniana è
solo una approssimazione di ciò che in realtà succede, mentre la teoria
della relatività è perfettamente compatibile. Solo con la comprensione dei fenomeni
elettromagnetici, dove entra in gioco la velocità della luce, l’anomalia
poteva venire fuori. E’ rimasto da discutere il secondo postulato
della relatività cioè quello dell’invarianza delle leggi della fisica
rispetto ai sistemi inerziali. Si era visto che ciò era vero solo per
le leggi della meccanica ma non per quelle dell’elettromagnetismo.
Questo era conseguenza dell’uso delle trasformazioni di Galileo:
l’invarianza delle leggi della meccanica per sistemi di riferimento
inerziali si traduceva come invarianza rispetto alle trasformazioni
galileiane. Einstein afferma che affinché il suo postulato sia
corretto era necessario utilizzare altre equazioni di trasformazione,
quelle che vengono chiamata le Trasformazioni di Lorentz. Il concetto di
invarianza di tutte le leggi della fisica nei vari sistemi inerziali fu
espresso da Einstein stesso così:
Vi è un immenso peso di verità nella meccanica
classica poiché essa ci ha fornito i moti reali dei corpi celesti con una
finezza di dettagli a dir poco meravigliosa. Il principio di
relatività deve perciò valere con grande esattezza nel dominio della meccanica.
Ma che un tale principio di così vasta generalità debba valere con tale
esattezza in un dominio di fenomeni (cioè la meccanica) e non essere valido
in un altro dominio (cioè l’elettromagnetismo) non è a priori molto
probabile. Le trasformazioni di Lorentz già esistevano ed
erano state trovate da Hendrik Lorentz (1853-1928) fisico olandese, per
dare una spiegazione del mancato spostamento delle frange di interferenza
nell’esperimento di Michelson-Morley. Le equazioni di trasformazione di
Lorentz si riducono a quelle di Galileo nel momento in cui le velocità in
questione sono trascurabili rispetto a quelle della luce. Quando ciò non è
così allora appare l’effetto di dilatazione del tempo e di contrazione
delle lunghezze nel verso della velocità. L’effetto di dilatazione del
tempo è un fenomeno misurabile ma solo con orologi estremamente precisi,
mentre l’effetto di contrazione delle lunghezze appare solo nelle equazioni
ma non può essere misurato. Naturalmente la teoria della relatività
nell’ambito della riscrizione delle leggi della fisica portò molte
altre novità tra cui la più nota delle equazioni della fisica: Questa equazione, detto in parole poverissime, ci
dice che la massa può essere interamente trasformata in energia. E’ questa
legge che spiega la incredibile quantità di energia che viene prodotta
all’interno delle stelle. Lo scopo di queste poche pagine non è certo
quello di aggiungere un altro testo alla già vasta produzione
esistente in questo argomento. Per maggiori chiarimenti proprio sulla
fisica relativistica, equazioni, dimostrazioni e quanto altro, si rimanda
alla bibliografia che fornisce un vasto repertorio di testi in tal
proposito. La teoria generale della relatività Il lavoro di Einstein del 1905 per quanto fosse
innovativo per la profusione di concetti e di rivoluzioni nel campo della
fisica era comunque nell’aria. Il problema della velocità della luce, della
ricerca dell’etere e della non invarianza delle leggi
dell’elettromagnetismo erano problemi che assillavano il mondo della
fisica e che Einstein per primo risolse in modo, come detto, elegante e
rivoluzionario. Undici anni più tardi, nel 1916 Einstein pubblica un
altro articolo ancora più rivoluzionario dove viene enunciata una nuova
teoria della gravitazione che estende quella newtoniana all’universo intero
ed in cui compaiono concetti nuovi che per decenni non avranno utilità
nel mondo della fisica nonostante le prove sperimentali confermino tale
teoria. E’ la teoria generale della relatività. Tale teoria prende spunto
da una serie di critiche mosse dallo stesso Einstein alla sua teoria
ristretta della relatività. Forse mai nel campo della scienza l’ideatore di
una teoria rivoluzionaria è il primo a criticarla per estenderla oltre
limiti a cui nessuno poteva arrivare. Questa è la grandezza di Einstein
come scienziato. Ancora una volta qui non si vuole fare un
ennesimo trattato di relatività generale ma semplicemente enunciare alcuni
concetti che portano a tale teoria. La teoria generale della
relatività richiede una conoscenza di strumenti matematici che solo corsi
universitari possono fornire, tuttavia i concetti possono essere
enunciati. Si è visto nelle pagine precedenti come sia stato
faticoso il cammino svolto alla ricerca del sistema di riferimento idoneo
per la stesura delle leggi della fisica e di come la velocità della
luce, con le sue caratteristiche abbia richiesto delle equazioni di
trasformazione particolari. Tuttavia il concetto di sistema di riferimento
inerziale ancora una volta è un concetto incompleto e per certi versi
astratto. La prima domanda che Einstein si pose era se aveva senso
parlare di sistemi inerziali. Un sistema inerziale doveva essere un
ente astratto slegato dai corpi. Per avere l’inerzialità occorre avere la
totale assenza di forze o almeno il loro annullamento. In natura esiste una
forza molto particolare che ha la caratteristica di essere l’unica forza
che non può essere schermata: la forza di gravità. Essa è una forza
solo attrattiva e che cresce con la massa. Tutte le altre forze in
natura possono essere o schermate o considerate nulle a causa della
loro natura; la gravità no. Se la forza di gravità non può essere schermata
ha senso parlare di sistemi inerziali in senso assoluto? O forse è
più corretto parlare di inerzialità solo locale? Quindi la teoria
ristretta della relatività può avere solo un ambito locale. Se si vuole
avere una teoria più generale occorre estendere il principio di relatività
anche ai sistemi di riferimento accelerati. Tale principio fu
enunciato da Einstein nel seguente modo: Principio di covarianza (o invarianza) generale ·
Le
leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di
riferimento Affinché tale principio abbia validità è
necessario verificare il: Principio di equivalenza ·
La
massa inerziale è equivalente alla massa gravitazionale Quest’ultimo principio enunciato in questo modo
è senz’altro poco chiaro. Vediamo di fare luce sul concetto di massa
inerziale e massa gravitazionale. Siamo seduti in un’auto ferma che
improvvisamente accelera. Il nostro corpo viene spinto verso il
sedile, cioè nel verso opposto all’accelerazione dell’auto. La spinta
che noi sentiamo è dovuta al fatto che il nostro corpo si oppone al
cambiamento di stato, dalla quiete al moto. Questa opposizione è
chiamata inerzia e conseguentemente la massa del nostro corpo è la massa
inerziale. La massa gravitazionale invece è dovuta al nostro peso,
cioè alla forza di gravità che esercita la massa della Terra e che
richiama tutti i corpi verso il centro di essa con la medesima
accelerazione. Il principio di equivalenza in pratica afferma che è
impossibile mediante esperimenti distinguere le forze inerziali da
quelle gravitazionali. Se un osservatore si trova in una stanza chiusa
senza contatti con l’esterno e sente una spinta verso il basso della stanza
allora tale osservatore non è in grado di capire se la spinta è dovuta al
campo gravitazionale di un pianeta o ad una accelerazione della
medesima entità. L’estensione del principio di relatività anche ai
sistemi accelerati porta a conseguenze piuttosto sorprendenti circa
la natura della gravità e dello spaziotempo. Una di queste conseguenze
è legata alla geometria dello spaziotempo. Secondo la teoria generale
della relatività la forza di gravità si rende presente modificando la
geometria dello spaziotempo, cioè incurvando il medesimo in
prossimità di una grande concentrazione di materia. Anche in questo caso un
esempio, molto abusato e non completamente calzante, può chiarire un po’ il
concetto. [figura del lenzuolo col peso sopra]Prendiamo un telo e
stendiamolo, tirandolo da ogni suo lato. In questo modo otteniamo un
piano, cioè la base della geometria euclidea. Due punti qualsiasi di questo
telo saranno tra loro uniti da un segmento che di fatto è la distanza più
breve tra i due punti. Tale distanza in relatività si definisce "metrica".
In altre parole, possiamo dire che la metrica della geometria euclidea è il
segmento. Adesso sul telo ci posiamo una sfera pesante.
Automaticamente il peso della sfera modificherà la geometria del telo: si
sarà formato un avvallamento in corrispondenza della sfera. Se i due
punti di prima li prendiamo vicini al bordo dell’avvallamento ecco
che il segmento che li univa ora deve seguire, sempre per unire i due
punti, la curva dell’avvallamento. La "metrica" in
prossimità dell’avvallamento non è più un segmento ma un tratto di
curva. Un insetto che prima percorreva una retta per andare da un punto
all’altro ora deve percorrere un tratto curvilineo di telo. La massa
appoggiata ha modificato la geometria: dalle due dimensioni del piano si è
passati alle tre dimensioni dell’avvallamento. Tuttavia, lontano
dall’avvallamento il telo è ancora un piano. La metrica su una superficie
curva viene chiamata "geodetica". Trasportiamo tutto alle
quattro dimensioni dello spaziotempo: la massa dei corpi modifica la
geometria spaziotemporale in prossimità dei corpi stessi. A grandi
distanze dai corpi ecco che lo spaziotempo è ancora euclideo. Riprendendo
il discorso iniziale abbiamo che, lontano dai corpi, quindi lontano da
intensi campi gravitazionali, possiamo avere condizioni di
inerzialità locale ed ecco che vale la teoria ristretta della
relatività, ma nel momento in cui ci si trovi in prossimità di grandi
masse, come quella delle stelle o, a maggior ragione, delle galassie
ecco che è necessaria la teoria generale della relatività perché lo spaziotempo
è "curvato" dalla massa. Molti testi di relatività generale
non parlano più di gravità o forza di gravità ma solo di
"curvatura" dello spaziotempo. Ancora una volta nessuno
sospettò, all’epoca, il bisogno di questa nuova teoria perché il suo
scostamento dalla teoria newtoniana della gravitazione nell’ambito
delle masse del Sistema Solare è di una parte su un milione quindi
totalmente trascurabile, salvo un unico caso che la teoria newtoniana non
era in grado di specificare: la precessione del perielio del pianeta
Mercurio. Il pianeta Mercurio, come tutti gli altri pianeti, compie
un’orbita ellittica attorno al Sole, solo che quest’orbita non si
chiude esattamente. A causa di questa anomalia l’orbita stessa del
pianeta ruota lentamente attorno al Sole. Questo fenomeno, noto già nel
secolo scorso, è ovviamente molto limitato: il perielio (distanza minima
pianeta-Sole) si sposta di 43" ogni secolo. Benché molto
piccolo, questo effetto era misurato ed in nessun modo la teoria newtoniana
della gravitazione ne dava una interpretazione. La teoria generale
della relatività invece prevedeva tale effetto proprio dell’entità
misurata. Un’altra prova molto nota della relatività generale è legata alla
deflessione dei raggi luminosi. La massa del Sole, benché non gigantesca
in ambito relativistico, si comporta come la sfera sul telo, di conseguenza
i raggi luminosi che nello spazio euclideo viaggiano in linea retta, in
prossimità del Sole sono costretti a deflettere perché lo spaziotempo in
cui si propagano è incurvato dalla massa del Sole. Durante una
eclisse di Sole, visibile nell’Africa equatoriale nel 1919 l’astronomo
Arthur Eddington misurò proprio questa deflessione dei raggi sotto
forma di posizioni di stelle che durante l’eclisse si dovevano trovare
dietro il Sole, quindi non visibili. Tale deflessione era di
1",76 - molto piccola ma comunque misurabile e corrispondente a quella
predetta dalla relatività generale. Anche la teoria newtoniana
prevedeva tale deflessione ma i calcoli portano ad un valore che è la metà
di quello misurato.
Per altri cinquant’anni la teoria generale della
relatività è rimasta come un monumento del pensiero umano e niente altro.
Solo negli ultimi trent’anni l’astrofisica e la cosmologia hanno ampiamente
usato la relatività generale confermando sempre e finora la validità
delle previsioni. E’ solo grazie a questa teoria che ora si possono
capire oggetti come le stelle di neutroni, i buchi neri, i nuclei attivi
delle galassie, i quasar e soprattutto la nascita ed evoluzione
dell’Universo intero. Molto probabilmente la teoria generale della
relatività è stata concepita in anticipo di mezzo secolo rispetto ai
suoi tempi. Questa è un’altra grandezza del genio di Einstein. Bisogna
però ricordare che l’apparato matematico necessario per la relatività
generale non è frutto della mente di Einstein ma del matematico
lughese Ricci-Curbastro.