Incommensurabilità
geometrica
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Una delle scoperte più importanti della scuola pitagorica è senza dubbio
quella dell’incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato. Due
segmenti L e D sono commensurabili quando hanno un
sottomultiplo comune, cioè quando L e D sono multipli di uno stesso segmento H:
L = m H D = n H con m e n interi. I pitagorici scoprirono che se L è il lato e D la diagonale di un quadrato, questa
relazione è impossibile.
Il primo di due possibili dimostrazioni, quella di tipo
geometrico, si basa sul fatto che se due segmenti L e D sono commensurabili, e
L<D<2L, allora sono commensurabili anche D–L e
2L–D. Infatti si ha D – L = (n – m) H e 2L – D = (2m –
n) H e quindi anche D–L e 2L–D hanno H come
sottomultiplo.
Supponiamo ora per assurdo che il lato L e la diagonale D di un quadrato siano commensurabili, e sia H un sottomultiplo comune.
Dividiamo in due parti uguali l’angolo ABP, e dal punto E tiriamo la
perpendicolare EF alla diagonale. I due triangoli ABE e BEF sono uguali (sono
rettangoli, hanno gli angoli in B uguali, e il lato BE comune); quindi BF=AB=L,
e PF=D-L. Il triangolo PEF è isoscele (infatti
l’angolo EPF è di 45 gradi), e dunque si ha AE=EF=FP=D-L, ed EP=L–(D–L)=2L-D.
Completiamo il quadrato EFPG. Siccome avevamo supposto
che il lato L e la diagonale D avessero un comune sottomultiplo H, anche il
lato PF=D–L e la diagonale EP=2L–D del quadrato piccolo avranno lo stesso
sottomultiplo H.
Se ripetiamo in questo quadrato la costruzione che abbiamo fatto nel
precedente, otteniamo un nuovo quadrato, ancora più piccolo, il cui lato e la
cui diagonale hanno ancora H come sottomultiplo. Continuando sempre nello
stesso modo, otteniamo dei quadrati sempre più piccoli, tutti però con il lato
e la diagonale che hanno H come sottomultiplo comune.
Ma questo non è possibile, perché il lato e la diagonale diventano sempre più
piccoli, e dopo un certo numero di passi finirebbero per diventare minori di H,
cioè di un loro sottomultiplo. Siamo dunque arrivati a un assurdo, e quindi il
lato e la diagonale di un quadrato non possono essere commensurabili.
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