Concezione della matematica
da parte dei vari filosofi
(Ritorna a “La matematica presso gli antichi Greci”)
MATEMATICA E FILOSOFIA IN ALCUNI
FILOSOFI GRECI
Talete di Mileto (624-548)
Conobbe la scienza mesopotamica ed egiziana.
È famoso per il teorema che un angolo inscritto in un semicerchio è retto. Tale
teorema è forse di derivazione mesopotamica, ma quasi certamente la sua
dimostrazione è di Talete, che perciò viene considerato il prima vero
matematico, ossia il fondatore dell'impostazione deduttiva della geometria. La
tradizione gli attribuisce altre quattro dimostrazioni:
1)Un cerchio viene bisecato dal suo
diametro.
2)Gli angoli alla base di un triangolo
isoscele sono uguali.
3) Le coppie di angoli al vertice formati
da due rette che si intersecano sono uguali.
4) Se due triangoli sono tali che due
angoli e un lato di uno di essi sono uguali rispettivamente a due angoli e a un
lato dell'altro, i triangoli sono congruenti.
Diogene Laerzio, seguito da Plinio e da
Plutarco, riferisce che Talete misurò l'altezza delle piramidi egiziane
osservando la lunghezza delle loro ombre nel momento in cui l'ombra di un
bastoncino verticale era uguale alla sua altezza. Erodoto racconta la storia
della previsione di un'eclisse solare fatta da Talete.
Anassagora di Clazomene (morto nel 428)
Rappresenta perfettamente lo spirito
dell'indagine razionale e il desiderio di conoscenza: nel mondo greco la
matematica era più strettamente collegata con la filosofia che non con
questioni di carattere pratico. Anassagora tentò di risolvere il problema della
quadratura del cerchio. A quell'epoca circolavano ad Atene altri due famosi
problemi, la duplicazione del cubo e la trisezione dell'angolo, problemi che si
pretendeva, cosa impossibile, di risolvere solo con la riga e il compasso.
Ippocrate di Chio (da non confondere con l'omonimo medico di Coo)
Riuscì facilmente da ottenere la prima
rigorosa quadratura di un'area curvilinea nella storia della matematica.
Zenone di Elea (450)
Cercò di dimostrare la
contraddittorietà insita nei concetti di molteplicità e divisibilità e seguì il
metodo dialettico, anticipando Socrate nel modo indiretto di argomentare che
partendo dalle premesse dell'oppositore, le riduceva a una assurdità. Contro le
concezioni della scuola pitagorica Zenone sviluppò i sui paradossi, fra i quali
i più noti sono quelli sul movimento, specialmente i seguenti quattro:
1)Il paradosso della
"dicotomia".
2)Quello di Achille.
3)Quello della freccia.
4)Quello dello stadio.
Il primo si basa su questo
ragionamento: un oggetto in movimento, prima che possa percorrere una data
distanza, deve innanzitutto percorre metà di tale distanza; ma prima di poter
fare ciò, deve percorrere innanzitutto il primo quarto della distanza; e prima
di questo, il primo ottavo, e così via attraverso un numero infinito di
suddivisioni. Il corridore che vuole partire deve percorrere un numero infinito
di tali suddivisioni in un periodo di tempo finito; ma è impossibile esaurire
una collezione di infiniti elementi, e pertanto l'inizio del movimento è
impossibile. Il secondo paradosso è simile al primo tranne che la suddivisione
infinita è progressiva piuttosto che regressiva. Qui Achille gareggia con una
tartaruga che parte in posizione avvantaggiata. Il ragionamento mostra che
Achille, per quanto veloce possa correre, non potrà mai superare la tartaruga:
infatti quando raggiungerà la posizione iniziale della tartaruga, questa sarà
già andata avanti coprendo una certa breve distanza; e così il processo
continua indefinitamente.
I paradossi della dicotomia e di
Achille dimostrano che, se si assume l'infinita suddivisibilità dello spazio e
del tempo, il movimento risulta impossibile; i paradossi della freccia e dello
stadio mostrano che il movimento è ugualmente impossibile se si assume il
contrario, ossia che la suddivisibilità dello spazio e del tempo termini in
elementi indivisibili. Nel paradosso della freccia Zenone sviluppa questo
ragionamento: un oggetto che vola occupa sempre uno spazio uguale a se stesso;
ma ciò che occupa sempre uno spazio uguale a sé stesso non è in movimento;
pertanto la freccia che vola è in quiete in ogni istante, cosicché il suo
movimento è un’illusione. La dimostrazione del paradosso dello stadio risulta
più laboriosa e richiede qualche figura.
Se la scuola pitagorica ha il merito
della scoperta del numero irrazionale, come la radice quadrata di 2, che è
espressione dell'incommensurabilità tra la diagonale e il lato del quadrato,
Zenone, considerando l'infinitamente piccolo come equivalente al nulla, può
definirsi il precursore della scoperta moderna del differenziale; la sua teoria
del moto apparente e della divisibilità all'infinito ha suscitato grande
interesse nella fisica e nella matematica moderne.
Democrito di Abdera (460-370)
La chiave della matematica di Democrito
va senza dubbio trovata nella sua dottrina fisica, l'atomismo. Tutti i fenomeni
andavano spiegati, sosteneva Democrito, in termini di atomi impenetrabilmente
duri, infinitamente piccoli e di forma e dimensioni infinitamente svariate, che
si muovevano incessantemente nello spazio vuoto. È possibile che l'atomismo di
Democrito sia stato suggerito dall'atomismo geometrico dei pitagorici e non è
sorprendente che i problemi matematici cui era principalmente interessato Democrito
fossero quelli che richiedevano una sorta di metodo infinitesimale. Forse
Democrito dimostrò che un prisma triangolare può essere diviso in tre piramidi
triangolari, le quali, prese a due a due, hanno uguale altezza e uguale area di
base; e ne aveva poi dedotto che piramidi che hanno la stessa altezza e basi
uguali sono uguali. Ciò poteva venire giustificato soltanto mediante
l'applicazione di tecniche infinitesimali.
Sei sono i problemi principali della matematica
e della geometria all'epoca di Democrito: la quadratura del cerchio, la
duplicazione del cubo, la trisezione dell'angolo, il rapporto tra grandezze
incommensurabili, i paradossi concernenti il movimento e la validità dei metodi
infinitesimali.
Socrate
Il suo influsso sullo sviluppo della
matematica fu trascurabile. Ciò rende ancor più sorprendente il fatto che fosse
un suo discepolo e ammiratore, Platone, colui che divenne l'ispiratore del
pensiero matematico del IV a.C.
Aristotele
Le discussioni aristoteliche intorno
all'infinito attuale e potenziale in geometria e in matematica hanno esercitato
un influsso più o meno forse su matematici posteriori che si sono occupati del
problema dei fondamenti della matematica. Aristotele discute poi dell'infinito
nel contesto matematico: egli nega l'esistenza dell'infinito, che negherà anche
parlando di cosmologia: il cosmo è una cosa finita .
L'infinito per Aristotele esiste solo
potenzialmente, ma non è mai effettivamente attuabile.
Non esiste come realtà fisica e neanche
come realtà matematica: esiste solo potenzialmente.
Concentriamoci sul contesto matematico:
Aristotele sa bene che ogni numero è
aumentabile di un’unità: l'infinito numerico è però solo potenziale: si usano
sempre e solo numeri finiti che si possono aumentare di una unità: non c'è mai
in atto un numero infinito, solo potenzialmente c'è . L'infinito esiste anche
nell'infinitamente piccolo (sempre potenzialmente): si può dividere
all'infinito, ma in realtà non si trova mai un numero infinito. Bisogna
precisare che Aristotele aveva una concezione continua della realtà e non
discreta (come invece aveva Democrito): per Aristotele i numeri non sono
infinitamente divisibili (va detto che all'epoca non si conoscevano le frazioni).
L'infinito potenziale esiste, sia nel piccolo sia nel grande; questo però vale
solo per la matematica, perchè invece nel mondo fisico non c'è neppure in forma
potenziale.
Le considerazioni di Aristotele sulla
matematica sono state importantissime per la storia tant'è che ancora oggi
abbiamo una concezione della matematica che ci deriva da Aristotele.
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