(Ritorna a “La matematica
presso gli antichi Greci”)
Pitagora, fondatore
della stessa scuola che ne prende il nome, nasce a Samo
nel 580 a. C.. Compie alcuni viaggi in Egitto dove
apprende elementi della geometria; in seguito si reca a Crotone, colonia dorica
sulla costa orientale della Calabria, dove fonda questa comunità.
La scuola pitagorica
è dedita soprattutto allo studio delle matematiche: aritmetica, geometria e
teoria musicale. Pitagora, secondo la testimonianza di Proclo,
avrebbe compiuto delle scoperte matematiche di capitale importanza, come quelle
degli irrazionali e dei poliedri regolari.
Pitagora elabora una “teoria del principio di tutte le cose”, ricondotta ai
numeri e i numeri a due principi supremi opposti: il Limite e l'Illimitato;
aveva inoltre osservato che la riduzione delle cose ai numeri si fondava su
somiglianze tra realtà diverse: i rapporti tra corde della lira di diverse
grandezze, dischi di bronzo di diverso spessore o vasi riempiti in diversa
misura.
I pitagorici
attribuivano ai numeri proprietà non solo matematiche:
ad es. consideravano perfetta la tetrade, in quando
espressione di un solido geometrico, o la decade in quando somma dei primi
quattro numeri. Essi ritenevano che i quattro elementi avessero come limite,
cioè come struttura, i quattro solidi geometrici regolari, tetraedro, cubo,
ottaedro, icosaedro e l'universo intero avesse come struttura la sfera.
Proclo afferma che altre dottrine nel campo della matematica
possano esser attribuite ai pitagorici:
• Il teorema sulla
somma degli angoli del triangolo (uguale a due retti);
• Il celebre teorema
detto "di Pitagora" sul triangolo rettangolo (il quadrato costruito sull'ipotenusa
è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti);
• La costruzione dei
poligoni regolari;
• I problemi di
"applicazione delle aree" (serie di problemi che traducono
geometricamente le equazioni di primo e secondo grado).
In seguito alla
considerazione dei pitagorici riguardo al numero, come
principio di tutte le cose, Aristotele dice che essi dividevano i numeri in due
grandi categorie: pari e dispari, connettendo il pari con l'infinito e il
dispari con il finito.
Da questi due
principi i pitagorici facevano derivare una serie di coppie di opposti:
LIMITE ILLIMITATO
DISPARI PARI
UNO MOLTEPLICE
DESTRO
SINISTRO
MASCHIO FEMMINA
IMMOBILE IN MOVIMENTO
DRITTO
CURVO
LUCE OSCURITA'
BUONO
CATTIVO
QUADRATO
RETTANGOLO
Molte ipotesi sono
state fatte per giustificare la corrispondenza tra "limite", "dispari",
"uno", "quadrato": l'ipotesi più ragionevole sembra quella
che si riconnette alla proprietà aritmetica secondo la quale, addizionando i
successivi numeri dispari, si ottengono uno dopo l'altro tutti i numeri
quadrati, mentre, addizionando successivamente i numeri pari, si ottengono
numeri "rettangolari" (composti cioè da fattori disuguali).
es. 1 + 3 = 4 » 2 • 2
4 + 5 = 9 » 3 • 3
9
+ 7 = 16 » 4 • 4
es. 2 + 4 = 6 » 2
• 3
6
+ 6 = 12 » 3 • 4
12
+ 8 = 20 » 4 • 5
Un'ulteriore scoperta matematica, attribuita a Pitagora, condusse ad
abbandonare l'ingenua concezione del punto dotato di dimensioni, portando
all'introduzione degli enti geometrici razionalmente concepiti.
Secondo le precedenti concezioni degli enti geometrici, i segmenti hanno un
sottomultiplo comune e il punto sarebbe, in ogni caso, il sottomultiplo comune
cercato.
Ma esistono copie di segmenti che non ammettono nessun sottomultiplo
comune.
ES:
Si procede con la dimostrazione per assurdo:
ammettiamo che la diagonale e il lato abbiano un
sottomultiplo comune, quindi:
CA = sottomultiplo (x) ∙ m
CB = x ∙ n
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele ABC:
AB² + BC² = AC²
intendendo che l'area del quadrato costruito su AC è uguale
alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti AB e BC
AC = m
AB e BC = n
L'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è, dunque, m²,
mentre quella del quadrato costruito sui cateti è n².
Quindi, per il teorema di Pitagora:
m² = n² + n² » m² = 2n²
L'uguaglianza scritta, però, è assurda, poiché è
impossibile che il quadrato di m² di un numero intero
m sia uguale al doppio del quadrato n² di un altro
numero intero n: un numero quadrato,
infatti, risulta dalla ripetizione degli stessi fattori e l'introduzione
del fattore 2 non permette di formare un quadrato.
Es. 6²
= 36 = 4 ∙ 9
= 2² ∙ 3
moltiplicando
per 2 si ha:
72 =
36 ∙ 2 = 2 ∙ 2² ∙ 3² = 2³ ∙ 3²
Un altro metodo per dimostrare l'incommensurabilità della
diagonale del lato di un quadrato è dato dal riportare il segmento minore sul
maggiore; il segmento che avanza viene riportato sul
minore quante volte è possibile; il nuovo avanzo viene riportato ancora sul
primo segmento e cosi di seguito.
Se il procedimento ha termine, significa che due segmenti
dati sono commensurabili; se il procedimento non ha termine, ciò vuol dire che
i due segmenti sono incommensurabili. Ma, applicando tale procedimento alla
diagonale e al lato di un quadrato, esso non ha termine.
RAPPORTI E PROPORZIONI
Il rapporto è un numero che viene ad esprimere il
risultato della misura di una prima grandezza rispetto ad una seconda, che si assume
come unità.
Il caso più semplice si presenta quando
la prima grandezza contiene esattamente la seconda. Ad es. il perimetro T di un
triangolo equilatero e del suo lato L: T = 3L
Il rapporto tra T e L è 3
T ÷ L = 3 » T / L = 3
Può capitare più spesso che la prima grandezza non
contiene esattamente un certo numero di volte la seconda, ma ne contiene un
numero intero di volte, un suo sottomultiplo.
Prendiamo ad es. un quadrato ed un triangolo equilatero,
aventi per lato lo stesso segmento L.
Perimetro
Quadrato Q = 4L
Perimetro
Triangolo T = 3L
Il perimetro Q non contiene esattamente un certo numero
di volte T, ma il sottomultiplo
T / 3 di T, che è il lato L
Q e T hanno un sottomultiplo comune (lato L)
L
= T / 3
Q
= 4 (T / 3) oppure Q = (4 / 3) T
il rapporto è quindi » Q ÷ T = 4 / 3 » 4
/ 3 = Q / T
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